分分时时彩-怎么样求等差数列之和 应该怎么做?

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在本文中:评估数列计算总和完成例题

等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和,你可以将所有数字手动相加。但是,当数列包含大量数字时,就无法使用这种方法了。这时,你可以使用另一种方法,即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数,从而快速算出任何等差数列之和。

部分 1评估数列

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 1为标题的图片

1确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字,其中各数字的增量是一个常数。[1]本文所述方法仅适用于等差数列。

要确定数列是否是等差数列,你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。

例如,数列10, 15, 20, 25, 30是一个等差数列,因为各项之间的差值等于常数(5)。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 2为标题的图片

2确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字,你可以数一数共有多少项。否则,在知道首项、末项,以及被称为公差的各项之差的情况下,你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量n{\displaystyle n}来代表这个数字。

例如,如果你要计算数列10, 15, 20, 25, 30之和,则n=5{\displaystyle n=5},因为数列共有5项。

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 3为标题的图片

3确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和,你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1,但也并不一定。我们可以设变量a1{\displaystyle a_{1}}等于数列首项,变量an{\displaystyle a_{n}}等于数列末项。

例如,在数列10, 15, 20, 25, 30中,a1=10{\displaystyle a_{1}=10},而an=30{\displaystyle a_{n}=30}

部分 2计算总和

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 4为标题的图片

1列出计算等差数列之和的公式。公式为Sn=n(a1+an2){\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})},其中Sn{\displaystyle S_{n}}等于数列之和。[2]

注意,此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。[3]

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 5为标题的图片

2将变量n{\displaystyle n}a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}代入公式中。确保代入步骤正确。

例如,如果数列有5项,首项为10,末项为30,则代入后公式变成:Sn=5(10+302){\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 6为标题的图片

3计算首项和末项的平均数。将两个数字相加,然后除以2。

例如:

Sn=5(402){\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}

Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 7为标题的图片

4用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。

例如:

Sn=5(20){\displaystyle S_{n}=5(20)}

Sn=100{\displaystyle S_{n}=100}

因此,数列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。

部分 3完成例题

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 8为标题的图片

1计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。

确定数列的项数n{\displaystyle n}。由于需要考虑500以内的所有连续整数,因此n=500{\displaystyle n=500}

确定数列的首项a1{\displaystyle a_{1}}和末项an{\displaystyle a_{n}}。由于数列是从1到500,所以a1=1{\displaystyle a_{1}=1},而an=500{\displaystyle a_{n}=500}

计算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均数:1+5002=250.5{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250.5}

用平均数乘以n{\displaystyle n}250.5×500=125,250{\displaystyle 250.5\times 500=125,250}

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 9为标题的图片

2求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。

确定数列的项数n{\displaystyle n}。由于数列的第一项为3,最后一项为24,而每一项比前一项大7,所以这个数列是3, 10, 17, 24。以上推论是根据公差的定义得出,公差即数列中各项与前一项之差。[4]这意味着n=4{\displaystyle n=4}

确定数列的首项a1{\displaystyle a_{1}}和末项an{\displaystyle a_{n}}。由于数列是从3到24,所以a1=3{\displaystyle a_{1}=3},而an=24{\displaystyle a_{n}=24}

计算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均数:3+242=13.5{\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13.5}

用平均数乘以n{\displaystyle n}13.5×4=54{\displaystyle 13.5\times 4=54}

以Find the Sum of an Arithmetic Sequence Step 10为标题的图片

3解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里,她每周会比前一周多存5元钱。年末时,陈静共存了多少钱?

确定数列的项数n{\displaystyle n}。由于陈静存了1年,而1年有52周,所以n=52{\displaystyle n=52}

确定数列的首项a1{\displaystyle a_{1}}和末项an{\displaystyle a_{n}}。她存的第一笔钱金额为5元,所以a1=5{\displaystyle a_{1}=5}。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出,5×52=260{\displaystyle 5\times 52=260}。因此,an=260{\displaystyle a_{n}=260}

计算a1{\displaystyle a_{1}}an{\displaystyle a_{n}}的平均数:5+2602=132.5{\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132.5}

用平均数乘以n{\displaystyle n}135.5×52=7,046{\displaystyle 135.5\times 52=7,046}。所以,她在年末时共存了7,046元。

参考

↑ /www_mathsisfun_com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html↑ /www_khanacademy_org/math/calculus-home/series-calc/series-calculus/v/formula-for-arithmetic-series↑ /www_purplemath_com/modules/series4.htm↑ /www_mathsisfun_com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html

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